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¿Se puede asignar una función matemática al diagrama de ECG?

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Este es un electrocardiograma de 12 derivaciones de un hombre de 26 años:

Esta es la gráfica de la función $ 5sin (7x) sin (.5x) cos (3.25x) $ Este gráfico mira bastante similar al diagrama de ECG Después de esbozar este gráfico, pensé si el diagrama de ECG podría asignarse aproximadamente a una función matemática.

Pregunta: ¿Alguien ha intentado alguna vez asignar el diagrama a una función matemática? ¿Es siquiera posible?


Prueba esto:

$ f (x) = - 20 (e ^ { left ( operatorname {mod} left (x-10, 20 right) -10 right)} * (e ^ {5 left ( operatorname { mod} left (x-10, 20 right) -10 right)} - ​​57 * e ^ {4 left ( operatorname {mod} left (x-10, 20 right) -10 right)} + 302 * e ^ {3 left ( operatorname {mod} left (x-10, 20 right) -10 right)} - ​​302 * e ^ {2 left ( operatorname {mod } left (x-10, 20 right) -10 right)} + 57 * e ^ { left ( operatorname {mod} left (x-10, 20 right) -10 right) } -1)) / (e ^ { left ( operatorname {mod} left (x-10, 20 right) -10 right)} + 1) ^ 7 $


Requisitos y ejemplificaciones matemáticos

Para poder desarrollar sus habilidades, conocimiento y comprensión en Biología, los estudiantes deben haber aprendido y adquirido competencia en las áreas apropiadas de matemáticas como se indica en la tabla de cobertura a continuación.

En general, al menos el 10% de las calificaciones en las evaluaciones de biología requerirán el uso de habilidades matemáticas. Estas habilidades se aplicarán en el contexto de la biología y serán al menos el estándar de matemáticas de GCSE de nivel superior.

Las siguientes tablas ilustran dónde se pueden desarrollar estas habilidades matemáticas durante la enseñanza o dónde se pueden evaluar. Los que se muestran en negrita solo se probaría en el curso completo de A-level.

Esta lista de ejemplos no es exhaustiva. Estas habilidades podrían desarrollarse o evaluarse en otras áreas del contenido de la especificación. Otras áreas en las que se podrían desarrollar estas habilidades se han ejemplificado a lo largo de estas especificaciones.


¿Se puede asignar una función matemática al diagrama de ECG? - biología

Representaciones de funciones

Probablemente esté más familiarizado con la representación simbólica de funciones, como la ecuación,

Las funciones se pueden representar mediante tablas, símbolos o gráficos. Cada una de estas representaciones tiene sus ventajas. Las tablas proporcionan explícitamente los valores funcionales de entradas específicas. La representación simbólica establece de manera compacta cómo calcular valores funcionales. Los gráficos proporcionan una representación visual de una función, mostrando cómo cambia la función en un rango de entradas.

Las tablas proporcionan un medio sencillo para comparar las entradas y salidas de una función determinada. Una tabla completa, que enumera todas las entradas y salidas, solo se puede utilizar cuando hay una pequeña cantidad de entradas y salidas. Se puede utilizar una tabla parcial para enumerar algunas entradas y salidas seleccionadas. Este tipo de tabla a menudo indica la forma de la función o indica el patrón para generar las salidas a partir de las entradas.

Las tablas completas pueden indicarle si una relación determinada es una función o no. Considere la siguiente tabla completa,

Al inspeccionar, podemos ver que la tabla anterior representa una función porque cada entrada corresponde exactamente a una salida. No se alarme que la salida y = & minus2 aparece dos veces. El hecho de que dos entradas diferentes den lugar a la misma salida no viola la definición de una función. La siguiente tabla, por otro lado, no representa una función,

En este caso, la entrada X = 3 da lugar a dos salidas diferentes, y = 1 y y = & menos1. Esto también es cierto para la entrada X = 1 que corresponde a las salidas y = 2 y y = & menos3. .

Las funciones se representan comúnmente de forma simbólica porque estas representaciones son compactas. Un ejemplo de representación simbólica es

En este caso, multiplicamos cada entrada X por 2 para obtener la salida correspondiente y.

Otro ejemplo de representación simbólica es

En este caso, tomamos cada entrada X, cuadre y luego agregue uno.

¿Cómo saber si una ecuación dada representa una función?

No todas las ecuaciones son representaciones simbólicas de funciones. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación,

Es y una función de X en la ecuación anterior? Para determinar si y es una función de X, es conveniente resolver y como,

Ahora está claro que y no es una función de X porque para cada entrada válida X (excepto X = 0), hay dos salidas. Por ejemplo, la entrada X = 4 resultados en las salidas

Ahora exploraremos las representaciones gráficas de funciones. Un gráfico es una forma de visualizar pares ordenados, (X, y), en un conjunto de ejes de coordenadas (el xy-plano). Comenzaremos mostrando la representación gráfica de la función representada en la tabla,

Podemos dibujar la gráfica de esta función trazando los pares ordenados enumerados en la tabla anterior (es decir, (& minus3, 1), (& minus2, & minus2), (& minus1, 2), (0, 4), (1, & minus3), (2 y menos2), (3 y menos1)) como,

Observe que no conectamos los puntos porque la tabla solo nos da valores funcionales de puntos particulares. No conocemos los valores funcionales entre dos puntos, como X = & minus3 y X = & menos2. Por lo tanto, debemos asumir que la función no está definida en estos puntos. Aunque no conectamos los puntos en el gráfico, todavía representa una función porque cada entrada corresponde exactamente a una salida.

Si graficamos los puntos en la tabla,

tenemos el siguiente gráfico,

Claramente, este gráfico indica la asignación de múltiples salidas a las entradas X = 1 y X = 3 y, por tanto, no representa una función. Este ejemplo ilustra cómo las gráficas son una forma conveniente de representar relaciones porque se puede probar fácilmente si una gráfica en particular representa una función. Si un gráfico representa una función, pasará el prueba de línea vertical, que establece que un conjunto de puntos representa una función si y solo si ninguna línea vertical interseca el gráfico en más de un punto. Esto tiene sentido, porque si una entrada, X, está asignado a exactamente una salida, y, luego una línea vertical, que corresponde a un solo valor de X intersecará el gráfico en un solo punto. Si, por otro lado, una línea vertical se cruza con la gráfica de F en más de un lugar, entonces F no es una función y no pasa la prueba de la línea vertical. Usando la prueba de la línea vertical podemos ver que la gráfica anterior no representa una función,

Representar el dominio y el rango de una función

Ahora veremos dos formas de visualizar el dominio y rango de una función. Comenzaremos con el siguiente diagrama de dominio y rango,

Como puede ver, los puntos del conjunto del lado izquierdo, el dominio, son asignados por la función a los puntos del conjunto del lado derecho, el rango. Es decir, las entradas en el dominio están mapeadas por F a las salidas en el rango.

Podemos visualizar el dominio y rango de una función gráficamente de la siguiente manera,

Las flechas rojas en el gráfico indican que el gráfico se extiende hasta el infinito. Las flechas verdes muestran el dominio como la línea real completa (es decir, todos los números reales o (- & infin, & infin)). La flecha azul muestra el rango de la función como (& minus2, & infin). No todas las funciones tienen dominios que constan de todos los números reales. Muchas funciones están definidas de tal manera que no se pueden aceptar determinadas entradas. Por ejemplo, X = 0 no está en el dominio de la función

porque la división por cero es una operación indefinida. Todas las demás entradas son válidas porque la división se define para todos los números reales excepto cero, y por lo tanto escribimos el dominio como

A medida que exploramos las diferentes funciones de forma individual, aprenderemos sobre sus dominios y rangos.

En la siguiente sección describiremos algunas de las propiedades de las funciones.


Palabras clave

Sobre el Autor-Dr. STEVEN A. ISRAEL es un científico senior de reconocimiento de imágenes y patrones en Science Applications International Corporation (SAIC). El Dr. Israel analiza conjuntos de datos no tradicionales para una serie de organizaciones gubernamentales, militares y académicas. Recibió una licenciatura (1987) y una maestría (1991) de la Facultad de Ciencias Ambientales y Forestales de la Universidad Estatal de Nueva York. Su Ph.D. (1999) fue otorgado por los Departamentos de Ciencias de la Información y Topografía de la Universidad de Otago, Nueva Zelanda. Los intereses del Dr. Israel & # x27 incluyen procesamiento de imágenes, biometría, fotogrametría, clasificación, rugby y reconocimiento de patrones.

Sobre el Autor-Dr. JOHN M. IRVINE es el director de sistemas de imágenes de Science Applications International Corporation (SAIC). Se ha desempeñado como científico en jefe de varios programas de evaluación de sistemas de explotación de imágenes asistidos, desarrollo y evaluación de reconocimiento automático de objetivos (ATR) y tecnología de comprensión de imágenes, y la aplicación de la teledetección a una variedad de aplicaciones militares y civiles. Actualmente es el investigador principal para el desarrollo de nuevas técnicas de identificación humana no tradicionales (biometría) en el marco del Programa DARPA HumanID. El Dr. Irvine recibió su Ph.D. en 1982 en estadística matemática de la Universidad de Yale.

Sobre el Autor-Señor. ANDREW C. CHENG es ingeniero de software en SAIC. Recibió una licenciatura (1997) y una ME (1998) en Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Sus intereses incluyen la programación orientada a aspectos, plataformas de software de lenguaje neutro como .Net y alternativas energéticas como el biodiesel.


Pensando contextualmente

Visión general

Se encuentra disponible una amplia gama de actividades visuales y contextuales para apoyar la entrega de este tema. Una de las actividades (Sistema de transporte masivo) vincula 2.2.1 (a) con 2.2.4 (a) considerando los sistemas de transporte masivo tanto en mamíferos como en plantas, brindando también la oportunidad de incorporar el concepto matemático de la relación área de superficie a volumen (M0.3, M4.1).

El uso de técnicas de disección (se relaciona con PAG2) para observar la estructura interna y externa del corazón de los mamíferos (actividad de 'Disección del corazón') siempre es bien recibida por los estudiantes y, cuando se usa en asociación con imágenes visuales del corazón, permite la consolidación y mejora del conocimiento existente.

Las animaciones computarizadas para estudiar la acción del corazón permiten a los estudiantes comprender las diferencias entre la actividad 'eléctrica' y 'mecánica' del corazón (ver 'Pensar conceptualmente' 1, 2, 3, 4, 5) y las preguntas relacionadas con este concepto también ayudarán a la comprensión. (Actividad de la función cardíaca).

La oportunidad para la investigación práctica surge con el estudio de la frecuencia cardíaca y su efecto sobre el gasto cardíaco (se relaciona con PAG10 y PAG11). Se pueden investigar diferentes factores utilizando Daphnia, pero se anima a los estudiantes a participar activamente en el estudio de los efectos del ejercicio. Aquellos que no puedan participar físicamente pueden ser asignados a las tareas de medición y registro (actividad de 'Frecuencia cardíaca'). Los cálculos asociados con estas actividades prácticas apoyarán los conceptos matemáticos, incluida la estimación, el uso de unidades apropiadas, las medias aritméticas y la construcción de tablas (M0.1, M0.4, M1.2, M1.3, M1.11, M2.3, M2.4, M3.1, M3.2). La actividad de 'Datos secundarios' vincula los resultados obtenidos durante estas investigaciones prácticas con los datos secundarios y la Actividad del alumno 6 utiliza ejemplos de ECG para permitir que los alumnos desarrollen habilidades de análisis e interpretación.


Ligandos de señalización celular

Normalmente, la señalización celular es mecánica o bioquímica y puede ocurrir localmente. Adicionalmente, Las categorías de señalización celular están determinadas por la distancia que debe recorrer un ligando. Asimismo, los ligandos hidrófobos tienen propiedades grasas e incluyen hormonas esteroides y vitamina D3. Estas moléculas pueden difundirse a través de la membrana plasmática de la célula diana para unirse a los receptores intracelulares en su interior.

Por otro lado, los ligandos hidrófilos a menudo se derivan de aminoácidos. En cambio, estas moléculas se unirán a receptores en el superficie de la celda. Comparativamente, estas moléculas polares permiten que la señal viaje a través del entorno acuoso de nuestro cuerpo sin ayuda.


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¿Se pueden explicar los esquemas a los biólogos?

La revista Nature nos pidió a John Tate y a mí que escribiéramos un obituario para Alexander Grothendieck. Ahora es un héroe mío, la persona que conocí más merecedora del adjetivo "genio". Lo conocí cuando visitó Harvard y John, Shurik (como se le conocía) y dirigí un seminario sobre "Teoremas de existencia". Su devoción por las matemáticas, su desdén por la formalidad y las convenciones, su franqueza y lo que John y otros llaman su ingenuidad & # 769 tocó una fibra sensible en mí.

Así que John y yo estuvimos de acuerdo y escribimos el obituario a continuación. Dado que los lectores de Nature estaban compuestos más o menos enteramente por no matemáticos, parecía que nuestro desafío consistía en intentar hacer que algunas partes clave de la obra de Grothendieck fueran accesibles a tal audiencia. Obviamente, la definición misma de un esquema es fundamental para casi todo su trabajo, y también queríamos decir algo genuino sobre las categorías y la cohomología. Esto es lo que se nos ocurrió:

Alexander Grothendieck
David Mumford y John Tate

Aunque las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas y generales a lo largo del siglo XX, fue Alexander Grothendieck quien fue el mayor maestro de esta tendencia. Su habilidad única era eliminar todas las hipótesis innecesarias y excavar en un área tan profundamente que sus patrones internos en el nivel más abstracto se revelaban a sí mismos, y luego, como un mago, mostrar cómo la solución de viejos problemas surgió de manera directa ahora que su verdadera naturaleza había sido revelada. Su fuerza e intensidad fueron legendarias. Trabajó muchas horas, transformando totalmente el campo de la geometría algebraica y sus conexiones con la teoría algebraica de números. Fue considerado por muchos el matemático más grande del siglo XX.

Grothendieck nació en Berlín el 28 de marzo de 1928 en una pareja anarquista y políticamente activista: un padre judío ruso, Alexander Shapiro, y una madre protestante alemana, Johanna (Hanka) Grothendieck, y tuvo una infancia turbulenta en Alemania y Francia, evadiendo el holocausto en el pueblo francés de Le Chambon, conocido por proteger a los refugiados. Fue aquí en medio de la guerra, en la (escuela secundaria) Colle & # 768ge Ce & # 769venol, donde parece haber desarrollado por primera vez su fascinación por las matemáticas. Vivió como adulto en Francia, pero permaneció apátrida (con un "pasaporte Nansen") toda su vida, y realizó la mayor parte de su trabajo revolucionario en el período 1956-1970, en el Institut des Hautes E & # 769tudes Scientifique (IHES) en un suburbio. de París después de su fundación en 1958. Recibió la Medalla Fields en 1966.

Su primer trabajo, estimulado por Laurent Schwartz y Jean Dieudonne & # 769, agregó ideas importantes a la teoría de los espacios funcionales, pero se hizo suyo cuando se dedicó a la geometría algebraica. Este es el campo donde se estudia el locus de soluciones de conjuntos de ecuaciones polinomiales combinando las propiedades algebraicas de los anillos de polinomios con las propiedades geométricas de este locus, conocido como variedad. Tradicionalmente, esto había significado soluciones complejas de polinomios con coeficientes complejos, pero justo antes del trabajo de Grothendieck, Andre Weil y Oscar Zariski se habían dado cuenta de que se ganaba mucho más alcance y comprensión al considerar soluciones y polinomios sobre campos arbitrarios, p. campos finitos o campos numéricos algebraicos.

Sin embargo, los fundamentos adecuados de la visión ampliada de la geometría algebraica no estaban claros y así es como Grothendieck hizo su primera innovación enormemente significativa: inventó una clase de estructuras geométricas generalizando variedades que llamó esquemas. En términos más simples, propuso adjuntar a alguna anillo conmutativo (cualquier conjunto de cosas para las que se definen la suma, la resta y una multiplicación conmutativa, como el conjunto de números enteros o el conjunto de polinomios en variables x, y, z con coeficientes de números complejos) un objeto geométrico, llamado el Especificaciones del anillo (abreviatura de espectro) o un esquema afín, y parchear o pegar estos objetos para formar el esquema. El anillo debe considerarse como el conjunto de funciones en su esquema afín.

Para ilustrar lo revolucionario que fue esto, se puede formar un anillo comenzando con un campo, digamos el campo de números reales, y adjuntando una cantidad ( varepsilon ) que satisfaga ( varepsilon ^ 2 = 0 ). Piense en ( varepsilon ) de esta manera: sus instrumentos pueden permitirle medir un número pequeño como ( varepsilon = 0.001 ) pero entonces ( varepsilon ^ 2 = 0.000001 ) podría ser demasiado pequeño para medir, por lo que no hay ningún daño si lo ponemos en cero. Los números en este anillo son (a + b cdot varepsilon ) con real a, b. El objeto geométrico al que corresponde este anillo es un vector infinitesimal, un punto que puede moverse infinitesimalmente, pero solo de segundo orden. En efecto, regresa a Leibniz y convierte a los infinitesimales en objetos reales que pueden manipularse. Una idea relacionada se ha utilizado recientemente en física, para supercuerdas. Para conectar esquemas con la teoría de números, se toma el anillo de los números enteros. La especificación correspondiente tiene un punto para cada primo, en el que las funciones tienen valores en el campo finito de enteros mod pag y un punto clásico donde las funciones tienen valores numéricos racionales y que es "más gordo", teniendo todos los demás en su cierre. Una vez que la maquinaria se hizo familiar, muy pocos dudaron de que había encontrado el marco adecuado para la geometría algebraica y ahora es universalmente aceptado.

Yendo más allá en la abstracción, Grothendieck usó la red de mapas asociados, llamados morfismos, desde un esquema variable a uno fijo para describir esquemas como functores y notó que muchos functores que obviamente no eran esquemas surgieron en la geometría algebraica. Esto es similar en la ciencia a tener muchos experimentos que miden algún objeto a partir del cual se reconstruye la cosa real desconocida o incluso encontrar algo inesperado por su influencia en las cosas conocidas. Aplicó esto para construir nuevos esquemas, dando lugar a nuevos tipos de objetos llamados pilas cuyos functores fueron precisamente caracterizados posteriormente por Michael Artin.

Su trabajo más conocido es su ataque a la geometría de esquemas y variedades al encontrar formas de calcular su invariante topológico más importante, su cohomología. Un ejemplo sencillo es la topología de un plano menos su origen. Usando coordenadas complejas ((z, w) ), un plano tiene cuatro dimensiones reales y sacando un punto, lo que queda es topológicamente una esfera tridimensional. Siguiendo las inspiradas sugerencias de Grothendieck, Artin pudo mostrar cómo con el álgebra solo que un tercer grupo de cohomología adecuadamente definido de este espacio tiene un generador, que es la esfera que también vive algebraicamente. Juntos desarrollaron lo que se llama e & # 769tale cohomology en un famoso seminario de IHES. Grothendieck pasó a resolver varias conjeturas profundas de Weil, desarrollar cohomología cristalina y una metateoría de las cohomologías llamada motivos con un brillante grupo de colaboradores a los que atrajo en este momento.

En 1969, por razones que nadie entendió del todo, abandonó el IHES donde había hecho todo este trabajo y se lanzó a una campaña ecológica / política que llamó Sobrevivir. Con un espíritu asombrosamente ingenuo (que le había servido bien para hacer matemáticas), creía que podía iniciar un movimiento que cambiaría el mundo. Pero cuando vio que esto no estaba teniendo éxito, regresó a las matemáticas, enseñando en la Universidad de Montpellier. Allí formuló visiones notables de estructuras aún más profundas que conectan el álgebra y la geometría, p. Ej. el grupo de simetría del conjunto de todos los números algebraicos (conocido como su grupo de Galois Gal (( overline < mathbb Q> / mathbb Q) )) y gráficos dibujados en superficies compactas que él llamó 'dessin d'enfants' . A pesar de haber escrito tratados de mil páginas sobre este tema, aún inéditos, su programa de investigación fue financiado solo por el CNRS (Centre Nationale de Recherche Scientifique) y acusó al mundo de las matemáticas de ser totalmente corrupto. Durante las dos últimas décadas de su vida rompió con el mundo entero y buscó la soledad total en el pequeño pueblo de Lasserre en las estribaciones de los Pirineos. Aquí vivió solo en su propio mundo mental y espiritual, escribiendo notables obras autoanalíticas. Murió cerca el 13 de noviembre de 2014.

Como amigo, Grothendieck podía ser muy cálido, pero las pesadillas de su infancia lo habían convertido en una persona muy compleja. Era único en casi todos los sentidos. Su intensidad e ingenuidad le permitieron reformular los cimientos de gran parte de las matemáticas del siglo XXI utilizando conocimientos únicos que aún hoy asombran. El poder y la belleza del trabajo de Grothendieck sobre esquemas, functores, cohomología, etc. es tal que estos conceptos se han convertido en la base de gran parte de las matemáticas de hoy. Los sueños de su trabajo posterior siguen siendo desafíos para sus sucesores.

Lo triste es que esto fue rechazado por ser demasiado técnico para sus lectores. Su editor me escribió que 'polinomios de grado superior', 'vectores infinitesimales' y 'espacio complejo' (incluso números complejos) eran cosas que al menos la mitad de sus lectores nunca habían encontrado. La brecha entre el mundo en el que he vivido y ese incluso de científicos nunca ha parecido más grande. Estoy preparado para que los abogados y la gente de negocios digan que odian las matemáticas y que no recuerden ninguna matemática más allá de la aritmética, ¿¡pero esto !? La naturaleza es leída solo por personas que pertenecen al acrónimo 'STEM' (= Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas) y en los Estándares Básicos Comunes, se espera que todas esas personas aprendan muchísimas matemáticas. Muy deprimente.

Bueno, la revista Nature tenía muchas ganas de publicar algunos obituario en Grothendieck y nos agotó hasta que estuvimos de acuerdo con una reedición severamente simplificada. El obituario saldrá, creo, en la edición del 15 de enero, y los derechos de autor me impiden ponerlo aquí. Todo el tema de tratar de cerrar la brecha entre el mundo de los matemáticos y el de otros científicos o el de los laicos es serio y creo que los matemáticos podrían esforzarse más para encontrar puentes. Un ejemplo es el trabajo de Gower sobre bases en espacios de Banach: cuando recibió la Medalla Fields, nadie que yo sepa utilizó el ejemplo de las notas musicales para explicar las series de Fourier y, por tanto, las bases de los espacios funcionales al público en general.

El mínimo esencial que pensé para un obituario de Grothendieck fue intentar explicar los esquemas y decir algo sobre la cohomología. Para ser honesto, el escollo central para explicar los esquemas fue la palabra "anillo". Si no ha realizado una introducción al álgebra abstracta, ¿por dónde empezar? El borrador final se limitó a mencionar de pasada tres ejemplos: polinomios (omitiendo la aterradora frase "grado superior"), los números duales y los campos finitos. Bateamos sobre la especificación de los números duales hasta que salió algo parecido a una descripción honesta, usando "muy pequeña" e "distancia infinitesimal". En cuanto a los campos finitos, a pesar de la incomodidad de John, pensé que los números en un reloj eran una primera exposición decente. De acuerdo, ( mathbb/ 12 mathbb ) no es un campo, pero qué forma más rápida de introducir anillos finitos que decir "un tipo de número que se suma como las horas en un reloj: 7 horas después de las 9 en punto no son las 16 en punto, sino las 4 en punto". reloj"? Luego describimos la característica pag como un mundo "discreto", en contraste con la característica 0 mundo clásico / continuo. En otra dirección, también agregamos la cláusula "inspirada en las ideas del matemático francés Jean-Pierre Serre", un reconocimiento a su extraordinaria colaboración.

Todo es un compromiso y no quiero decir que la naturaleza sea tonta o estúpida por no permitir más matemáticas. El problema real es que se ha abierto una brecha tan grande y dolorosa entre los matemáticos y el resto del mundo. Creo que los planes de estudio de matemáticas de la escuela secundaria y preparatoria son una gran causa de esto. Si las matemáticas se introdujeron como conectadas con el resto del mundo en lugar de ser un ejercicio aislado, si se demostrara que conectan con el dinero, la medición del mundo real, la física, la química y la biología, la optimización de decisiones y la escritura de código informático, menos estudiantes se apagarían. De hecho, ¿por qué no abandonar las clases de matemáticas por separado en la escuela secundaria y enseñar las matemáticas según sea necesario en las clases de ciencias, cívica y negocios? Si lo piensas, creo que estarás de acuerdo en que esta no es una idea tan loca.

Comentarios

Hemos tenido muchos problemas con los científicos, en particular con los científicos de la vida. Están enseñando cálculo simplificándolo radicalmente. P.ej. sin trig, media página en la regla de la cadena,. y exámenes muy débiles. Esto está siendo impulsado por el Decano de LS, aparentemente para que los estudiantes con fobia a las matemáticas no se desconecten de la ciencia. Las personas a cargo parecen ser ecologistas y no creen en ninguna matemática que no sea lo que usan. Sospecho que estos estudiantes tendrán serios problemas cuando tomen física. También sospecho que los lectores de Nature piensan que conocen todas las matemáticas importantes y se enojan si se les insinúa que hay matemáticas importantes de las que ni siquiera han oído hablar.

Una historia triste. ¿Cuántas matemáticas necesitan los biólogos? En primer lugar, diría que las oscilaciones son parte central de cada ciencia más ingeniería / economía / negocios (posiblemente excluyendo la informática) y se necesitan las herramientas básicas para describirlos: senos y cosenos, todos trigonométricos, por supuesto, la fórmula de Euler (e ^ = cos (x) + i. sin (x) ) y especialmente las series de Fourier. Y, por supuesto, modelar un sistema mediante la ruta de un vector de estado en algunos ( mathbb^ n ), a menudo con una PDE, también es ubicua. Por ejemplo, seguramente todos los ecologistas han estudiado la ecuación de Lotka-Volterra (ciclos poblacionales de lobos y conejos). El álgebra es más una mezcla. Los splines son mucho más útiles que los polinomios para los ingenieros, los campos finitos surgen principalmente en aplicaciones de codificación y dudo que la idea abstracta de un anillo siempre se necesita. Pero polinomios y Las variedades se han utilizado en las estadísticas algebraicas de Sturmfels y, como señaló Lior Pachter (véase más adelante), se utilizan de forma muy eficaz para modelar la mutación del genoma. Pero la genómica evolutiva es una comunidad dentro de la biología y John y yo pensamos que necesitábamos incluir en el obituario una definición aproximada de un anillo.

2 de enero: Recibí un correo electrónico de Steven Salzberg sobre el desafío de cerrar la brecha entre las matemáticas y la biología, incluido un enlace a un blog fascinante sobre esta brecha de Lior Pachter. Pachter detalla cómo surgen las variedades como conjuntos de probabilidades consistentes con una clase de modelos, una aplicación de la que solo estaba vagamente consciente cuando escribí el obituario con John Tate. Luego explica detalladamente las muchas formas en que difieren la cultura de los matemáticos y de los biólogos, culturas que comparte con UC Berkeley. Como continúa diciendo, "La medida en que las dos culturas se han distanciado es asombrosa" y, lo que es peor, ambas partes parecen felices de ignorarse mutuamente. Para ilustrar esto, cita otro aspecto de la situación en UCLA mencionado por Gieseker: que el departamento de matemáticas no es uno de los 15 departamentos asociados del nuevo "Instituto de Biociencias Cuantitativas y Computacionales" de UCLA. Esta división es en detrimento de ellos y, como él dice:

La larga lista de diferencias entre biología y matemáticas que expuse anteriormente puede ser abrumadora. El contacto real entre los sujetos será difícil de fomentar, y se debe reconocer que no es necesario ni suficiente para que la ciencia avance. Pero, ¿no sería mejor si los matemáticos demostraran que se toman en serio la biología y los biólogos realmente experimentaran con las matemáticas?

David Mumford pregunta en su blog: "¿Se pueden explicar los esquemas a los biólogos?" en el contexto de su obituario y el de John Tate para Grothendieck que se está preparando para su publicación en Nature. Ofrece un primer borrador de obituario que fue rechazado por ser demasiado técnico, junto con un lamento por el abismo entre las matemáticas y otros campos científicos. Su borrador presenta el campo de geometría algebraica de Grothendieck de la siguiente manera: "Este es el campo donde se estudia el lugar geométrico de soluciones de conjuntos de ecuaciones polinomiales combinando las propiedades algebraicas de los anillos de polinomios con las propiedades geométricas de este lugar, conocido como una variedad . "

Me sorprende cómo alguien que ha trabajado en la interfaz de las matemáticas, las matemáticas aplicadas y la biología durante tanto tiempo se sorprendió de la recepción de la naturaleza. ¡Por supuesto que esto es demasiado técnico!

Entonces, quería intentar aceptar el desafío de Mumford.

Aquí está mi primer borrador. Comentarios bienvenidos.

La geometría algebraica se trata de resolver ecuaciones. No son ecuaciones sofisticadas que involucran funciones trigonométricas y exponenciales, sino ecuaciones ordinarias de variedad de jardín que involucran (x, x ^ 2, x ^ 3 ) y así sucesivamente. Aquí hay uno: (3x ^ 2 + 4x = 5x ^ 3 + 6 ). Moviendo todo hacia el lado izquierdo, podemos escribir esto como (-6 + 4x + 3x ^ 2 - 5x ^ 3 = 0 ). La cosa de la izquierda es un polinomio, que es una suma de términos, cada uno un múltiplo de alguna potencia pura de X. Llamemos al polinomio (f (x) ). Entonces, decidiendo mover todo al lado izquierdo, estudiamos ecuaciones como (f (x) = 0 ). También podemos estudiar polinomios en dos variables, como (g (x, y) = x ^ 2 - y ^ 2 ). En este caso, la ecuación (g (x, y) = 0 ) se puede resolver factorizando: (x ^ 2 - y ^ 2 = 0 ) significa ( (x + y) (xy) = 0 ), por lo que las soluciones son (y = x ) o (y = -x ). Es decir, cualquier punto que se encuentre en la línea (y = x ) o (y = -x ) (o en ambos) da una solución: de hecho, el punto (4, -4) es solución ya que (4 ^ 2 - (- 4) ^ 2 = 0 ). El conjunto de soluciones parece una forma de X gigante e infinita. Algunos polinomios no se pueden factorizar. Por ejemplo, si ponemos (h (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 - 2 ) entonces (h (x, y) = 0 ) significa (x ^ 2 + y ^ 2 = 2 ), y el conjunto de soluciones parece un círculo. Tenga en cuenta que el gigante, infinito X tenía dos piezas, correspondientes a los factores de (f (x, y) ), mientras que el círculo tiene una pieza, lo que corresponde al hecho de que no pudimos factorizar (h (x, y ) ). También podríamos considerar resolver más de una ecuación simultáneamente. Por ejemplo, si tratamos de resolver (g (x, y) = 0 ) y (h (x, y) = 0 ), esto significa que necesitamos encontrar un punto en el que ambos estén sobre el gigante, X infinito y el círculo (h (x, y) = 0 ). En total, hay cuatro puntos de este tipo: (1,1), (1, -1), (-1,1) y (-1, -1). Entonces, la geometría algebraica intenta caracterizar cómo se ve el conjunto de soluciones para cierto número de ecuaciones polinómicas.

Los polinomios son objetos matemáticos interesantes porque, al igual que los números, puedes multiplicarlos. Piense en un polinomio j con una variable, digamos, como regla que transforma un número X en un nuevo número (j (x) ). Luego, dados dos polinomios, j y k, podemos definir el producto jk por la regla que transforma X en el número (j (x) k (x) ), es decir, el producto de (j (x) ) y (k (x) ). En lenguaje matemático decimos que forman un anillo. También puede agregarlos: (j + k ) transforma X en la suma de (j (x) ) y (k (x) ). Y al igual que con los números, obtienes distributividad y otras propiedades agradables. De hecho, arriba encontramos que ciertos polinomios se pueden factorizar, mientras que otros no. Esto es análogo al hecho de que ciertos números enteros se pueden factorizar, p. Ej. 6 = 2x3, mientras que otros números "primos" como el 5 no pueden. Esta propiedad algebraica (siendo primo o compuesto) se refleja en la geometría del espacio solución: el polinomio primo (h (x, y) ) tenía un componente en la geometría de su conjunto solución (un círculo) mientras que el polinomio compuesto (g (x, y) ) tenía dos (las dos líneas que se cruzan). La geometría algebraica es el estudio de esta interacción. Por ejemplo, observe aquí que tanto gramo y h eran polinomios de "grado dos", ya que términos como (x ^ 2 ) o (y ^ 2 ) implican la multiplicación de dos cosas, como un X con un X o un y con un yy dos es el número máximo requerido por cualquier término en el polinomio. When we considered the simultaneous set of solutions to gramo y h, we found four points. Here we meet a demonstration of a mathematical theorem in algebraic geometry: Bezout's theorem says that the number of points equals the product of the degrees, and indeed here we have 4 = 2x2.

A function is a machine which takes as input a point in some space and has as output a number. For example, our polynomials gramo y h are functions on the plane, since the inputs ( (x,y) ) are points in the plane. The output, such as ( g(2,3) = 2^2 - 3^2 = -5 ), is always a number. Recall that the set of points to which gramo assigns the number zero formed a giant X. What if we wanted to talk about functions on that X itself? That is, what if we were interested in assigning a number to each point on that X? In algebraic geometry, we often want to do such a thing. In order to study a space, you might study how it appears inside other spaces (such as the X in the plane) and you might study how other spaces appear inside it (such as the four points inside the X). Now here is one way to consider a function on X. Start with a function on the plane and restrict your inputs to points which lie on X. For example, we could apply the function ( h(x,y) ) to points ( (x,y) ) that lie on X (which is to say, points with ( g(x,y)=0 ) ). That's fine, but then you soon realize that sometimes two different functions on the plane restrict to the same function on X. For instance, if we compare h and ( h+g ), then on the plane they are different but on X they are the same, since ( h+g ) equals ( h+0 ) because on X, gramo is zero, and ( h+0 ) equals h). After we impose this notion of sameness, we get a new "ring" of functions, and in general these rings can have interesting properties. For example, consider the function ( j(x,y) = x+y ) as a function on X. Note j is equal to zero along the line from northwest to southeast, but j is nonzero on the other line. Therefore jis not the "zero" function which assigns zero to every point. Likewise, the function ( k(x,y) = x-y ) is nonzero, but is equal to zero along the line from southwest to northeast. Now note that together on X we have ( jk = 0 ). The product of these two nonzero functions is zero when considered as functions on X. This is a very different phenomenon from what we are used to with numbers. With numbers, if the product of two numbers is zero, then one of them must be zero (possibly both). The lesson is that functions can be multiplied just like polynomials. Sometimes, the ring that they define can be interesting in novel ways, such as having the product of two nonzero objects being zero.

Recap: we can learn about the geometry of the space of solutions of some polynomial equations by studying their algebraic properties. The relationship between factoring and having multiple components was one example. Bezout's theorem was another. Functions on a space organize into an algebraic structure called a ring, since you can multiply them, and these rings can be more exotic than the rings formed by numbers or by plain old polynomials.

Now here is the crucial insight: we free ourselves from geometry and simply describe a space with its ring of functions. The plane would be described by the polynomials in two variables (omitting, always, the fancy trigonometric functions and such, in the land of algebra). The X would be described by that ring but with h and ( h+g ) thought of as the same, i.e. with gramo being identified with the zero function. The one-dimensional line would be described by polynomials in one variable. Even a single point can be described in this way! A function on a point must assign to that point a number, so the ring of functions is the ordinary ring of numbers, where multiplication is the usual multiplication. So we may think of each space as providing a generalization of the algebraic structure of ordinary numbers: each space is defined by (or defines) a ring of functions. This construction gives many interesting objects -- the so-called "affine schemes," but algebraic geometry contains yet more.

A scheme is a space described locally by a ring of functions. To give a flavor for what this might mean -- particularly the word "locally" -- consider a space which looks more like a Q than an X. Near where the tail of the Q meets the circle, there is a crossing which looks like a miniature X. What that means is that we should be able to zoom in our perspective and describe the points near the crossing as we would describe the X itself. Now in truth giving a notion of "nearness" can be subtle. Up until this point, we haven't relied on distances. For instance, we could have made all the same essential conclusions above using ( x^2 + y^2 - 50 ) instead of ( x^2 + y^2 - 2 ) and the circle h described would have been five times as large. Thus a scheme is a set of points equipped with a notion of nearness, such that on each "small" region a ring of functions is given. Further, these rings of functions must be compatible when considering the overlap of two regions. What this means is that if a small region A is contained in both region B and in region C, then the functions on A can be considered as restrictions of functions on B or as restrictions of functions on C.

That's about it. You take your geometric object (if you have a notion of geometry), look at a "small region" and describe the object by some equations. These equations tell you what the space of functions on the object is (e.g. which polynomials to consider "the same"). And you do this on enough small regions so that the whole object is described. If you want to free yourself from geometry entirely, you must provide a set with a notion of "nearby points," and give a ring (of functions) for each such neighborhood.

In fact, the only thing left to specify here is what we meant at the start by a "number." That is, we have to decide on the set of functions on a point! This choice determines which "numbers" we are allowed to use in our polynomial expressions. We might have meant the real numbers, the rational numbers, complex numbers, the whole numbers, or -- and here it gets deep very fast -- something more exotic. The only thing we really require is that whatever we decide a "number" is, we ensure that multiplication is associative and commutes, like for ordinary numbers.

Why do all this? Having "algebraicized" the problem completely, the power of this approach emerges when geometry breaks down. For example, if you plot the solutions to the equation ( y^2 - x^3 = 0 ) you see a pointy object which doesn't have a tangent line at the origin (0,0). So certain geometric constructions are off limits. However, this kind of space poses no problems in scheme theory. The ring of functions is simply obtained: for example, you need to set two polynomials equal to each other if they differ by ( y^2 - x^3 ), since that is zero on the space.

Obviously, Tate and Mumford were not afforded this much space by Nature, and just as obviously, without constraints they could communicate these ideas, too -- and better. Whatever its origin, the challenge was a good one. Did I meet it?

Eric, this is certainly a simple introduction to some of the ideas needed to explain schemes. But I think that it also illustrates why mathematicians are often unsuccessful in explaining their ideas to other scientists. The reason is that it seems to me to suffer from the mathematicians compulsion to always be 100% precise and complete, defining every concept used. All scientists know what a function is already and the idea of restricting a function to some smaller set does not need to be spelled out in such detail. The second issue is that mathematicians, when giving examples, tend to start with trivial examples instead of going for an example that illustrates best the core idea. In your case, I think the equation ( x^2-y^2=0 ) is just too simple and emphasizing reducible varieties seems to me just distracting. In the version Nature accepted, John and I use your third example, the circle -- a variety certainly known to all scientists -- and say "Algebraic geometry is the field that studies the solutions of sets of polynomial equations by looking at their geometric properties. For instance a circle is the set of solutions of ( x^2+y^2 = 1 ) and in general such a set of points is called a variety." I think the trick is to bootstrap the math on things scientists know, simplifying definitions (Stewart's maxim "Lie a little") and getting to some core non-trivial motivating example if possible.

Jan.5. I received from Jean-Michel Kantor a three part obituary by Michel de Pracontal containing some excellent efforts at explaining Grothendieck's work to lay people. I quote some of his article here. First a quote from Michel Demazure:

But frankly, I was quite disappointed by their struggle to say something meaningful about what schemes and functors are. They start, as John and I finally did, with a circle but discussing how one can look at the integer and rational solutions of the equation of a circle as well as real and complex solutions. This leads them to the following passage where schemes and functors are strangely conflated. I'm not sure why they say a set of equations could have no solutions -- what happened to the nullstellensatz? I guess they meant the variety has no points rational over the ground field.

Or, la mathématique étant le pays de la liberté, il n'y a aucune raison de ne pas considérer les solutions d'une équation, ou d'un système d'équations, pour n'importe laquelle des espèces de nombres évoqués ci-dessus. Ce qui enrichit encore considérablement la variété des variétés .

Et c'est là qu'intervient Grothendieck. Rappelons-nous qu'une variété est un objet géométrique, qui représente les solutions d'un système d'équations. Mais il y a des cas où le système n'a pas de solution, de sorte que la variété correspondante n'a pas de points. On ne peut pas la dessiner comme une figure géométrique. Mais peut-on quand même l'étudier ? L'idée de Grothendieck est de généraliser la notion de variété, en passant par les propriétés algébriques, et en "ignorant" les points : "Grothendieck ne se préoccupe pas des points, il les oublie délibérément, explique le mathématicien français Jean-Michel Kantor. Son raisonnement revient à dire : même si j'ai une équation sans solution, je veux pouvoir étudier cet objet donc je vais rassembler toute une série de variétés, sans savoir s'il y a des points, et je vais construire un objet plus général, qui inclut tous les cas possibles."

Cet objet plus général s'appelle un "schéma". L'intérêt des schémas est qu'ils élargissent le cadre de l'algèbre, tout en conservant les propriétés les plus importantes. Les schémas permettent de traiter dans le même cadre le monde des nombres entiers et celui des grandeurs continues, répondant aux questions soulevées par Diophante il y a 1 800 ans. Ainsi, avec les schémas, notre cercle peut être étudié aussi bien en considérant les nombres entiers que les réels ou un autre type de nombres.


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Using the Vertical Line Test

As we have seen in some examples above, we can represent a function using a graph. Graphs display a great many input-output pairs in a small space. The visual information they provide often makes relationships easier to understand. By convention, graphs are typically constructed with the input values along the horizontal axis and the output values along the vertical axis.

The most common graphs name the input value (x) and the output (y), and we say (y) is a function of (x), or (y=f(x)) when the function is named (f). The graph of the function is the set of all points ((x,y)) in the plane that satisfies the equation (y=f(x)). If the function is defined for only a few input values, then the graph of the function is only a few points, where the x-coordinate of each point is an input value and the y-coordinate of each point is the corresponding output value. For example, the black dots on the graph in Figure (PageIndex<10>) tell us that (f(0)=2) and (f(6)=1). However, the set of all points ((x,y)) satisfying (y=f(x)) is a curve. The curve shown includes ((0,2)) and ((6,1)) because the curve passes through those points

Figure (PageIndex<10>): Graph of a polynomial.

The vertical line test can be used to determine whether a graph represents a function. If we can draw any vertical line that intersects a graph more than once, then the graph does not define a function because a function has only one output value for each input value. See Figure (PageIndex<11>).

Figure (PageIndex<11>): Three graphs visually showing what is and is not a function.

Howto: Given a graph, use the vertical line test to determine if the graph represents a function

  1. Inspect the graph to see if any vertical line drawn would intersect the curve more than once.
  2. If there is any such line, determine that the graph does not represent a function.

Example (PageIndex<12>): Applying the Vertical Line Test

Which of the graphs in Figure (PageIndex<12>) represent(s) a function (y=f(x))?

Figure (PageIndex<12>): Graph of a polynomial (a), a downward-sloping line (b), and a circle (c).

If any vertical line intersects a graph more than once, the relation represented by the graph is not a function. Notice that any vertical line would pass through only one point of the two graphs shown in parts (a) and (b) of Figure (PageIndex<12>). From this we can conclude that these two graphs represent functions. The third graph does not represent a function because, at most x-values, a vertical line would intersect the graph at more than one point, as shown in Figure (PageIndex<13>).

Figure (PageIndex<13>): Graph of a circle.

Does the graph in Figure (PageIndex<14>) represent a function?

Figure (PageIndex<14>): Graph of absolute value function. Respuesta


Types of EKG Tests

Besides the standard EKG, your doctor may recommend other kinds:

Holter monitor. It's a portable EKG that checks the electrical activity of your heart for 1 to 2 days, 24-hours a day. Your doctor may suggest it if they suspect you have an abnormal heart rhythm, you have palpitations, or don't have enough blood flow to your heart muscle.

Like the standard EKG, it's painless. The electrodes from the monitor are taped to your skin. Once they're in place, you can go home and do all of your normal activities except shower. Your doctor will ask you to keep a diary of what you did and any symptoms you notice.

Event monitor. Your doctor may suggest this device if you only get symptoms now and then. When you push a button, it will record and store your heart's electrical activity for a few minutes. You may need to wear it for weeks or sometimes months.

Each time you notice symptoms, you should try to get a reading on the monitor. The info is sent on the phone to your doctor, who will analyze it.



Comentarios:

  1. Faunos

    no mucho

  2. Coyan

    Felicito, creo que este es el pensamiento magnífico

  3. Braramar

    La excelente respuesta, los felicito.

  4. Devy

    Esta idea ha envejecido

  5. Bamard

    ¡Esto es una sorpresa!



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